Modus Ponens Generalizado (MPG)
¿Qué es?
El MPG es una regla de inferencia que generaliza el modus ponens clásico para trabajar con Lógica de predicados|predicados y cuantificadores.
Forma General
Para enunciados atómicos $p_i$, $p'_i$, $q$ donde existe una sustitución $s$ tal que:
$$\frac{p'_1, p'_2, ..., p'_n, \space (p_1 \land p_2 \land ... \land p_n \Rightarrow q)}{SUST(s,q)}$$
donde $SUST(s,p'_i) = SUST(s,p_i)$ para toda $i$
Ejemplo Práctico
Dado: 1. $Mina(M1)$ 2. $Posee(Malvilandia, M1)$ 3. $\forall x \space [Mina(x) \land Posee(Malvilandia, x) \Rightarrow Vende(Pepe, Malvilandia, x)]$
Podemos inferir directamente: $Vende(Pepe, Malvilandia, M1)$
Usando la sustitución $s = {x/M1}$
Vamos a desglosar paso a paso el ejemplo para ver exactamente cómo funciona la sustitución en el MPG.
Tenemos: 1. $Mina(M1)$ [premisa 1] 2. $Posee(Malvilandia, M1)$ [premisa 2] 3. $\forall x \space [Mina(x) \land Posee(Malvilandia, x) \Rightarrow Vende(Pepe, Malvilandia, x)]$ [premisa 3]
El proceso paso a paso:
- Primero, identificamos la estructura de la implicación en la premisa 3:
- Antecedente: $Mina(x) \land Posee(Malvilandia, x)$
-
Consecuente: $Vende(Pepe, Malvilandia, x)$
-
Necesitamos que el antecedente coincida con lo que ya sabemos (premisas 1 y 2). Para esto:
- Si sustituimos $x$ por $M1$ en $Mina(x)$ obtenemos $Mina(M1)$ [coincide con premisa 1]
-
Si sustituimos $x$ por $M1$ en $Posee(Malvilandia, x)$ obtenemos $Posee(Malvilandia, M1)$ [coincide con premisa 2]
-
Como la sustitución ${x/M1}$ hace que ambas partes del antecedente coincidan con nuestras premisas, podemos aplicar la misma sustitución al consecuente:
- $Vende(Pepe, Malvilandia, x)$ se convierte en $Vende(Pepe, Malvilandia, M1)$
Es como si dijéramos: 1. "Sabemos que M1 es una mina" 2. "Sabemos que Malvilandia posee M1" 3. "Y sabemos que para cualquier cosa x, si es una mina Y Malvilandia la posee, entonces Pepe la vende a Malvilandia" 4. "Por lo tanto, como M1 cumple las dos condiciones, podemos concluir que Pepe vende M1 a Malvilandia"
Unificación
La unificación es el proceso de encontrar una sustitución que hace idénticos dos enunciados.
Ejemplo: - Enunciado 1: $Conoce(Carlos, x)$ - Enunciado 2: $Conoce(Carlos, Pepe)$ - Unificador: ${x/Pepe}$
Unificador Más General (UMG)
Es la sustitución más simple que unifica dos expresiones. Por ejemplo:
Para $Conoce(Carlos, x)$ y $Conoce(y, z)$: - Un unificador válido es ${y/Carlos, x/z}$ - Este es el UMG porque usa el mínimo de sustituciones necesarias