Operaciones con Raíces: Identidades Fundamentales

Las raíces (o radicales) son operaciones matemáticas fundamentales que representan la operación inversa de la potenciación. Este documento presenta las principales identidades y propiedades que necesitas conocer para operar correctamente con raíces.

Definiciones Básicas

Una raíz enésima se define como:

$$\sqrt[n]{a} = a^{1/n}$$

Donde:

  • $a$ es el radicando
  • $n$ es el índice de la raíz

La raíz cuadrada es un caso especial donde $n = 2$:

$$\sqrt{a} = a^{1/2}$$

Propiedades Fundamentales

1. Producto de raíces con el mismo índice

$$\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$$

Ejemplo: $$\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{2 \cdot 3} = \sqrt{6}$$

2. Cociente de raíces con el mismo índice

$$\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$$

Ejemplo: $$\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{8}{2}} = \sqrt{4} = 2$$

3. Potencia de una raíz

$$(\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m} = a^{m/n}$$

Ejemplo: $$(\sqrt{3})^2 = 3$$

4. Raíz de una raíz

$$\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m \cdot n]{a}$$

Ejemplo: $$\sqrt{\sqrt[3]{8}} = \sqrt[2]{\sqrt[3]{8}} = \sqrt[2 \cdot 3]{8} = \sqrt[6]{8}$$

5. Raíz de un producto

$$\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$$

Ejemplo: $$\sqrt{4 \cdot 9} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{9} = 2 \cdot 3 = 6$$

6. Raíz de un cociente

$$\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$$

Ejemplo: $$\sqrt{\frac{16}{4}} = \frac{\sqrt{16}}{\sqrt{4}} = \frac{4}{2} = 2$$

Racionalización

La racionalización es una técnica para eliminar raíces en el denominador de una fracción.

Racionalización con una raíz en el denominador

Para fracciones de la forma $\frac{a}{\sqrt{b}}$, multiplicamos numerador y denominador por $\sqrt{b}$:

$$\frac{a}{\sqrt{b}} = \frac{a \cdot \sqrt{b}}{\sqrt{b} \cdot \sqrt{b}} = \frac{a \cdot \sqrt{b}}{b}$$

Ejemplo: $$\frac{3}{\sqrt{5}} = \frac{3 \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{5}}{5}$$

Racionalización con binomios que contienen raíces

Para expresiones como $\frac{a}{b + \sqrt{c}}$ usamos el conjugado:

$$\frac{a}{b + \sqrt{c}} = \frac{a \cdot (b - \sqrt{c})}{(b + \sqrt{c})(b - \sqrt{c})} = \frac{a(b - \sqrt{c})}{b^2 - c}$$

Ejemplo: $$\frac{2}{3 + \sqrt{2}} = \frac{2(3 - \sqrt{2})}{(3 + \sqrt{2})(3 - \sqrt{2})} = \frac{2(3 - \sqrt{2})}{9 - 2} = \frac{2(3 - \sqrt{2})}{7}$$

Simplificación de Radicales

Para simplificar radicales:

  1. Factorizar el radicando
  2. Extraer las potencias que sean múltiplos del índice

$$\sqrt[n]{a^n \cdot b} = a \cdot \sqrt[n]{b}$$

Ejemplo: $$\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{2^2 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$$

Operaciones Combinadas con Raíces

Suma y resta de raíces

Solo se pueden sumar o restar raíces semejantes (mismo índice y mismo radicando):

$$a\sqrt[n]{c} \pm b\sqrt[n]{c} = (a \pm b)\sqrt[n]{c}$$

Ejemplo: $$2\sqrt{3} + 5\sqrt{3} = 7\sqrt{3}$$

Pero: $$\sqrt{2} + \sqrt{3} \text{ no se puede simplificar más}$$

Ejercicios prácticos

  1. Simplifica: $\sqrt{20} + \sqrt{45}$ Solución: $\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$ $\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}$ $\sqrt{20} + \sqrt{45} = 2\sqrt{5} + 3\sqrt{5} = 5\sqrt{5}$

  2. Racionaliza: $\frac{4}{2 - \sqrt{3}}$ Solución: $\frac{4}{2 - \sqrt{3}} = \frac{4(2 + \sqrt{3})}{(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})} = \frac{4(2 + \sqrt{3})}{4 - 3} = \frac{4(2 + \sqrt{3})}{1} = 8 + 4\sqrt{3}$

  3. Simplifica: $\sqrt[3]{24}$ Solución: $\sqrt[3]{24} = \sqrt[3]{8 \cdot 3} = \sqrt[3]{2^3 \cdot 3} = 2 \cdot \sqrt[3]{3}$