Sistemas Numéricos: Naturales, Enteros, Racionales y Reales

1. Números Naturales ($\mathbb{N}$)

Definición

Los números naturales son los números que usamos para contar.

$$\mathbb{N} = {1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}$$

Nota: Algunos textos incluyen el 0: $\mathbb{N}_0 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}$

Propiedades

• Cerrados bajo: suma y multiplicación
• No cerrados bajo: resta y división
• Elemento neutro: 1 para multiplicación
• No tienen: elemento neutro para suma (si no incluye 0)

Ejemplos

• $3 + 5 = 8 \in \mathbb{N}$ ✅
• $4 \times 7 = 28 \in \mathbb{N}$ ✅
• $5 - 8 = -3 \notin \mathbb{N}$ ❌
• $7 \div 3 = \frac{7}{3} \notin \mathbb{N}$ ❌

2. Números Enteros ($\mathbb{Z}$)

Definición

Los enteros incluyen los naturales, sus opuestos y el cero.

$$\mathbb{Z} = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}$$

Relación con naturales

$$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$$

Propiedades

• Cerrados bajo: suma, resta y multiplicación
• No cerrados bajo: división
• Elemento neutro: 0 para suma, 1 para multiplicación
• Elemento opuesto: Todo $a \in \mathbb{Z}$ tiene opuesto $-a \in \mathbb{Z}$

Ejemplos

• $(-5) + 3 = -2 \in \mathbb{Z}$ ✅
• $4 - 9 = -5 \in \mathbb{Z}$ ✅
• $(-3) \times (-2) = 6 \in \mathbb{Z}$ ✅
• $7 \div 2 = 3.5 \notin \mathbb{Z}$ ❌

3. Números Racionales ($\mathbb{Q}$)

Definición

Los racionales son números que se pueden expresar como fracción de dos enteros.

$\mathbb{Q} = {\frac{a}{b} : a, b \in \mathbb{Z},\ b \neq 0}$

Relación con anteriores

$$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}$$

Formas de representación

• Fraccionaria: $\frac{3}{4}, -\frac{7}{2}, \frac{5}{1}$
• Decimal finita: $0.75, -3.5, 5.0$
• Decimal periódica: $0.\overline{3} = \frac{1}{3}, 0.1\overline{6} = \frac{1}{6}$

Propiedades

• Cerrados bajo: suma, resta, multiplicación y división (excepto por 0)
• Elemento neutro: 0 para suma, 1 para multiplicación
• Elemento opuesto: Todo $r \in \mathbb{Q}$ tiene opuesto $-r \in \mathbb{Q}$
• Elemento inverso: Todo $r \in \mathbb{Q}, r \neq 0$ tiene inverso $\frac{1}{r} \in \mathbb{Q}$

Ejemplos

• $\frac{2}{3} + \frac{1}{4} = \frac{8+3}{12} = \frac{11}{12} \in \mathbb{Q}$ ✅
• $\frac{5}{7} \times \frac{3}{2} = \frac{15}{14} \in \mathbb{Q}$ ✅
• $\frac{8}{3} \div \frac{2}{5} = \frac{8}{3} \times \frac{5}{2} = \frac{40}{6} = \frac{20}{3} \in \mathbb{Q}$ ✅

Conversión decimal a fracción

Para decimales periódicos: $$0.\overline{ab} = \frac{ab}{99}, \quad 0.c\overline{ab} = \frac{cab - c}{990}$$

Ejemplo: $0.\overline{72} = \frac{72}{99} = \frac{8}{11}$

4. Números Reales ($\mathbb{R}$)

Definición

Los reales incluyen todos los racionales y los irracionales.

$$\mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{I}$$

donde $\mathbb{I}$ son los números irracionales.

Relación con anteriores

$$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$$

Números Irracionales ($\mathbb{I}$)

Números que no se pueden expresar como fracción de enteros.

Ejemplos de irracionales:

• $\sqrt{2} = 1.41421356...$
• $\sqrt{3} = 1.73205080...$
• $\pi = 3.14159265...$
• $e = 2.71828182...$
• $\phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} = 1.61803398...$ (razón áurea)

Propiedades de $\mathbb{R}$

• Cerrados bajo: todas las operaciones básicas (excepto división por 0)
• Completitud: No tienen "huecos" (todo punto límite pertenece al conjunto)
• Densidad: Entre dos reales siempre existe otro real
• Continuidad: Permiten el cálculo diferencial e integral

Representación en la recta numérica

Todos los números reales corresponden a puntos en la recta numérica, sin espacios vacíos.

5. Diagrama de Conjuntos

         ℝ (Números Reales)
    ┌─────────────────────────────┐
    │    ℚ (Números Racionales)   │
    │  ┌─────────────────────┐    │
    │  │  ℤ (Números Enteros) │    │
    │  │ ┌─────────────────┐ │    │
    │  │ │ ℕ (Naturales)   │ │    │
    │  │ │ {1,2,3,4,...}   │ │    │
    │  │ └─────────────────┘ │    │
    │  │ {...,-2,-1,0}      │    │
    │  └─────────────────────┘    │
    │  𝕀 (Irracionales)           │
    │  {√2, π, e, ...}            │
    └─────────────────────────────┘

6. Operaciones y Propiedades

Propiedades fundamentales en $\mathbb{R}$

Suma (+)

• Conmutativa: $a + b = b + a$
• Asociativa: $(a + b) + c = a + (b + c)$
• Elemento neutro: $a + 0 = a$
• Elemento opuesto: $a + (-a) = 0$

Multiplicación (×)

• Conmutativa: $a \times b = b \times a$
• Asociativa: $(a \times b) \times c = a \times (b \times c)$
• Elemento neutro: $a \times 1 = a$
• Elemento inverso: $a \times \frac{1}{a} = 1$ (para $a \neq 0$)

Distributiva

$$a \times (b + c) = a \times b + a \times c$$

7. Cardinalidad

• $|\mathbb{N}| = |\mathbb{Z}| = |\mathbb{Q}| = \aleph_0$ (numerable)
• $|\mathbb{R}| = \mathfrak{c}$ (continuo, no numerable)
• $|\mathbb{I}| = \mathfrak{c}$ (continuo, no numerable)

8. Ejemplos de Clasificación

*Depende de la definición utilizada para $\mathbb{N}$