Propiedades de la Raíz Cuadrada

Definición Básica

La raíz cuadrada de un número $a$ es el número $x$ tal que $x^2 = a$.

$$\sqrt{a} = x \iff x^2 = a$$

Para números reales positivos, existe una única raíz cuadrada positiva (raíz principal).

$$\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$$ Válida cuando $a \geq 0$ y $b \geq 0$

Ejemplo: $\sqrt{4 \cdot 9} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{9} = 2 \cdot 3 = 6$

$$\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$$ Válida cuando $a \geq 0$ y $b > 0$

Ejemplo: $\sqrt{\frac{16}{4}} = \frac{\sqrt{16}}{\sqrt{4}} = \frac{4}{2} = 2$

$$\sqrt{a^2} = |a|$$ El resultado es el valor absoluto de $a$

Ejemplo: $\sqrt{(-3)^2} = \sqrt{9} = 3 = |-3|$

$$\sqrt{\sqrt{a}} = a^{1/4}$$ Válida cuando $a \geq 0$

Ejemplo: $\sqrt{\sqrt{16}} = \sqrt{4} = 2$

$$\sqrt{a} = a^{1/2}$$ Válida cuando $a \geq 0$

$$\sqrt{a + b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}$$

Contraejemplo: - $\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ - $\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7$ - Por tanto: $5 \neq 7$

$$\sqrt{a - b} \neq \sqrt{a} - \sqrt{b}$$

Contraejemplo: - $\sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4$ - $\sqrt{25} - \sqrt{9} = 5 - 3 = 2$ - Por tanto: $4 \neq 2$

$$(\sqrt{a})^2 = a$$ Válida cuando $a \geq 0$

$$\sqrt{a^2} = |a|$$ Siempre produce el valor absoluto

$$\sqrt{a^2 \cdot b} = |a|\sqrt{b}$$

Ejemplo: $\sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{3^2 \cdot 5} = 3\sqrt{5}$

La propiedad más violada es la distribución sobre suma/resta. Siempre recuerda:

$$\sqrt{a^2 + b^2} \neq \sqrt{a^2} + \sqrt{b^2} = |a| + |b|$$

Esta es la base de la fórmula de distancia en geometría analítica: $$d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$$