Funciones, Dominios y Rangos
En matemáticas, una función es una de las herramientas más fundamentales. Imagínala como una máquina que recibe una entrada, la procesa siguiendo una regla específica y produce una única salida.
¿Qué es una Función?
Una función es una regla que asigna a cada elemento de un conjunto de entrada (llamado dominio) exactamente un elemento de un conjunto de salida (llamado rango).
Se suele escribir como $f(x)$, donde: * $f$ es el nombre de la función (la regla). * $x$ es la entrada (variable independiente). * $f(x)$ es la salida (variable dependiente), que también se suele llamar $y$.
La expresión completa sería: $$y = f(x)$$
Ejemplo: Imagina la función $f(x) = x^2$. Esta función toma cualquier número $x$ y lo eleva al cuadrado.
- Si la entrada es $x=2$, la salida es $f(2) = 2^2 = 4$.
- Si la entrada es $x=-3$, la salida es $f(-3) = (-3)^2 = 9$.
La característica clave es que para cada entrada $x$, hay una única salida $y$.
El Dominio: Las Entradas Permitidas
El dominio de una función es el conjunto de todos los valores de entrada ($x$) para los cuales la función está definida y produce un resultado válido (en los números reales).
Pensando en la analogía de la máquina, el dominio son todos los "ingredientes" que la máquina acepta sin romperse. Hay dos "averías" principales que debemos evitar en álgebra:
1. División por Cero
Una fracción no puede tener un denominador igual a cero.
Ejemplo: $g(x) = \frac{1}{x-2}$
Para encontrar el dominio, buscamos qué valor de $x$ hace que el denominador sea cero y lo excluimos. $$x - 2 = 0 \implies x = 2$$ Por lo tanto, el dominio de $g(x)$ son todos los números reales excepto el 2.
2. Raíces Cuadradas de Números Negativos
Dentro de los números reales, no podemos calcular la raíz cuadrada de un número negativo.
Ejemplo: $h(x) = \sqrt{x-3}$
Para que la función sea válida, lo que está dentro de la raíz (el radicando) debe ser mayor o igual a cero. $$x - 3 \ge 0 \implies x \ge 3$$ El dominio de $h(x)$ son todos los números reales mayores o iguales a 3.
¿Cómo se Representa un Dominio?
Existen dos formas principales de expresar el dominio de una función.
1. Notación de Intervalos
Usa paréntesis () para indicar que un extremo no está incluido y corchetes [] para indicar que sí lo está. El símbolo de infinito ($\infty$) siempre usa paréntesis.
| Caso | Ejemplo | Notación de Intervalo |
|---|---|---|
| Cerrado | $-2 \le x \le 5$ | [-2, 5] |
| Abierto | $-2 < x < 5$ | (-2, 5) |
| Semi-abierto | $-2 \le x < 5$ | [-2, 5) |
| Infinito | $x \ge 3$ | [3, ∞) |
| Exclusión | $x \neq 2$ | (-∞, 2) U (2, ∞) |
2. Notación de Conjuntos
Es una forma más formal que describe las propiedades de los números en el dominio.
-
Para $g(x) = \frac{1}{x-2}$, el dominio es: $${ x \in \mathbb{R} \mid x \neq 2 }$$ (Se lee: "El conjunto de todos los números $x$ que pertenecen a los reales, tal que $x$ es distinto de 2").
-
Para $h(x) = \sqrt{x-3}$, el dominio es: $${ x \in \mathbb{R} \mid x \ge 3 }$$ (Se lee: "El conjunto de todos los números $x$ que pertenecen a los reales, tal que $x$ es mayor o igual a 3").
Representación Gráfica
Gráficamente, el dominio es la "sombra" que la función proyecta sobre el eje X. El rango es la "sombra" que proyecta sobre el eje Y.