Geometría analítica
- Geometría analítica
- 1. El Plano Cartesiano: Tu Sistema de Referencia
- 2. Distancia Entre Puntos
- 3. Pendiente: Midiendo la Inclinación
- 4. Ecuaciones de Rectas: Las Tres Formas Esenciales
- 5. Conversiones Entre Formas
- 6. Casos Especiales Críticos
- 7. Problemas Tipo Para Dominar
- 8. Conexiones con Ingeniería Informática
- 8. Verificación y Herramientas
- 9. Referencia Rápida
La geometría analítica es una rama de las matemáticas que estudia la figuras geométricas, sus distancias, sus áreas, puntos de intersección, ángulos de inclinación, puntos de división, volúmenes, etcétera usando un determinado sistema de coordenadas y análisis matemático y álbebra.
Fases:
- geometría cartesiana (Descartes)
- geometría diferencial (Gauss)
- geometría algebraica (Grothendieck)
1. El Plano Cartesiano: Tu Sistema de Referencia
Concepto fundamental
El plano cartesiano es un sistema que te permite ubicar cualquier punto usando dos números. Es como un mapa perfecto donde cada ubicación tiene una "dirección matemática" única.
Componentes básicos
Ejes de coordenadas: - Eje X (horizontal): También llamado eje de las abscisas - Eje Y (vertical): También llamado eje de las ordenadas - Origen (0,0): Punto donde se cruzan ambos ejes
Representación de puntos: Todo punto P se escribe como un par ordenado: $P = (x, y)$
- $x$: distancia horizontal desde el origen (positiva hacia la derecha)
- $y$: distancia vertical desde el origen (positiva hacia arriba)
Cuadrantes del plano
| Cuadrante | Signos | Ejemplo |
|---|---|---|
| I | $(+, +)$ | $(3, 2)$ |
| II | $(-, +)$ | $(-2, 3)$ |
| III | $(-, -)$ | $(-1, -4)$ |
| IV | $(+, -)$ | $(4, -1)$ |
Aplicación en programación: En algunos sistemas gráficos, el origen (0,0) está en la esquina superior izquierda, con Y creciendo hacia abajo.
2. Distancia Entre Puntos
Fórmula fundamental
Dados dos puntos $P_1 = (x_1, y_1)$ y $P_2 = (x_2, y_2)$:
$$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$
Origen: Teorema de Pitágoras aplicado al triángulo rectángulo formado por los dos puntos.
Ejemplos prácticos
-
Distancia entre (1, 2) y (4, 6): $$d = \sqrt{(4-1)^2 + (6-2)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$
-
Distancia al origen desde (3, 4): $d = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = 5$
3. Pendiente: Midiendo la Inclinación
La pendiente mide qué tan "empinada" es una recta. Es la razón entre "cuánto sube" y "cuánto avanza".
Fórmula de la pendiente
Entre dos puntos $P_1 = (x_1, y_1)$ y $P_2 = (x_2, y_2)$:
$$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{\text{cambio vertical}}{\text{cambio horizontal}}$$
Interpretación de valores
- $m > 0$: Recta creciente (sube de izquierda a derecha)
- $m < 0$: Recta decreciente (baja de izquierda a derecha)
- $m = 0$: Recta horizontal
- $m$ indefinida: Recta vertical (denominador = 0)
Casos especiales importantes
- Rectas paralelas: Tienen la misma pendiente
- Rectas perpendiculares: Sus pendientes son inversos negativos ($m_1 \cdot m_2 = -1$)
Ejemplo: Si una recta tiene pendiente $m = 2$, una perpendicular tendrá $m = -\frac{1}{2}$
4. Ecuaciones de Rectas: Las Tres Formas Esenciales
4.1 Forma Pendiente-Ordenada (la más intuitiva)
$$y = mx + b$$
- $m$: pendiente
- $b$: ordenada al origen (donde cruza el eje Y)
Ventaja: Puedes leer directamente la pendiente y el punto de cruce con Y.
Ejemplo: $y = 2x + 3$ - Pendiente: 2 - Cruza Y en: (0, 3)
4.2 Forma Punto-Pendiente (la más práctica)
$$y - y_1 = m(x - x_1)$$
Cuándo usar: Cuando conoces un punto $(x_1, y_1)$ y la pendiente $m$.
Ejemplo: Recta que pasa por (2, 5) con pendiente 3: $$y - 5 = 3(x - 2)$$ $$y = 3x - 1$$
4.3 Forma Estándar (la más versátil)
$$Ax + By = C$$
donde $A$, $B$, $C$ son enteros y $A \geq 0$.
Ventajas: - Encuentra interceptos rápidamente - Maneja rectas verticales - Útil para sistemas de ecuaciones
Encontrar interceptos: - Intercepto X (hacer $y = 0$): $x = \frac{C}{A}$ - Intercepto Y (hacer $x = 0$): $y = \frac{C}{B}$
Ejemplo: Para $2x + 3y = 6$: - Intercepto X: $(3, 0)$ - Intercepto Y: $(0, 2)$
5. Conversiones Entre Formas
De Pendiente-Ordenada a Estándar
Objetivo: $y = mx + b \rightarrow Ax + By = C$
Proceso: 1. Mueve todos los términos al lado izquierdo 2. Elimina fracciones multiplicando por el denominador común 3. Asegúrate que $A$ sea positivo
Ejemplo: $y = \frac{2}{3}x - 4$
- $-\frac{2}{3}x + y = -4$
- Multiplica por 3: $-2x + 3y = -12$
- Multiplica por -1: $2x - 3y = 12$
De Estándar a Pendiente-Ordenada
Objetivo: $Ax + By = C \rightarrow y = mx + b$
Proceso: Despeja $y$
$$Ax + By = C$$ $$By = -Ax + C$$ $$y = -\frac{A}{B}x + \frac{C}{B}$$
Por tanto: $m = -\frac{A}{B}$ y $b = \frac{C}{B}$
6. Casos Especiales Críticos
Rectas Horizontales
- Ecuación: $y = k$ (constante)
- Pendiente: $m = 0$
- Forma estándar: $0x + 1y = k$
Rectas Verticales
- Ecuación: $x = k$ (constante)
- Pendiente: Indefinida
- Forma estándar: $1x + 0y = k$
¡Importante! Las rectas verticales NO pueden escribirse en forma $y = mx + b$.
7. Problemas Tipo Para Dominar
Problema 1: Ecuación dados dos puntos
Dados: $(1, 3)$ y $(4, 9)$ Encontrar: Ecuación en forma pendiente-ordenada
Solución: 1. Calcular pendiente: $m = \frac{9-3}{4-1} = \frac{6}{3} = 2$ 2. Usar forma punto-pendiente: $y - 3 = 2(x - 1)$ 3. Simplificar: $y = 2x + 1$
Problema 2: Encontrar recta perpendicular
Dada: $y = 3x + 2$ que pasa por $(2, 1)$ Encontrar: Recta perpendicular
Solución: 1. Pendiente original: $m_1 = 3$ 2. Pendiente perpendicular: $m_2 = -\frac{1}{3}$ 3. Ecuación: $y - 1 = -\frac{1}{3}(x - 2)$ 4. Simplificar: $y = -\frac{1}{3}x + \frac{5}{3}$
Problema 3: Conversión y análisis
Dada: $2x - 4y = 8$ Convertir a forma pendiente-ordenada y encontrar interceptos
Solución: 1. Conversión: $-4y = -2x + 8 \rightarrow y = \frac{1}{2}x - 2$ 2. Interceptos: - X: $2x = 8 \rightarrow x = 4$, punto $(4, 0)$ - Y: $-4y = 8 \rightarrow y = -2$, punto $(0, -2)$
8. Conexiones con Ingeniería Informática
Algoritmos Geométricos
- Detección de intersecciones: ¿Se cruzan dos líneas?
- Punto en polígono: ¿Está un punto dentro de una figura?
- Cálculo de áreas: Usando coordenadas de vértices
Gráficos por Computadora
- Transformaciones lineales: Rotación, escalado, traslación
- Proyecciones: De 3D a 2D
- Rasterización: Convertir ecuaciones a píxeles
Optimización
- Programación lineal: Restricciones como rectas
- Algoritmos de pathfinding: Distancias mínimas
- Machine Learning: Regresión lineal, clasificación
8. Verificación y Herramientas
Comprobaciones
- Sustituir puntos conocidos en la ecuación final
- Verificar pendiente visualmente en la gráfica
- Comprobar interceptos haciendo $x=0$ e $y=0$
Herramientas de verificación
- Desmos (desmos.com): Graficador online
- GeoGebra: Geometría interactiva
- Python matplotlib: Para verificación programática
9. Referencia Rápida
Fórmulas esenciales
- Distancia: $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$
- Pendiente: $m = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$
- Punto-pendiente: $y - y_1 = m(x - x_1)$
- Pendiente-ordenada: $y = mx + b$
- Forma estándar: $Ax + By = C$
Conversiones rápidas
- Estándar → Pendiente-ordenada: $m = -\frac{A}{B}$, $b = \frac{C}{B}$
- Interceptos: X-intercepto: $(\frac{C}{A}, 0)$, Y-intercepto: $(0, \frac{C}{B})$
Casos especiales
- Horizontal: $y = k$, pendiente = 0
- Vertical: $x = k$, pendiente indefinida
- Paralelas: Misma pendiente
- Perpendiculares: $m_1 \cdot m_2 = -1$